Modelo CAPM: precificando ações

O CAPM (Capital Asset Pricing Model) é um modelo de precificação de ativos que relaciona o risco e retorno dos ativos. Esse modelo é relativamente novo, ao se comparar quando as ações surgiram.

O CAPM pode ser expresso por meio da equação abaixo:

\[R_i = R_f + \beta_i(R_m – R_f)\]

Em que:

$R_i$ = taxa de retorno esperada do ativo.
$R_m$ = taxa de retorno esperada da carteira de mercado
$R_f$ = taxa de retorno de ativo sem risco
$\beta_i$ = coeficiente beta do ativo

Assim, segundo o CAPM, o retorno esperado de ativo $i$ é taxa livre de risco $R_f$ mais um prêmio que é ponderado por um coeficiente $\beta_i$. Esse coeficiente incorpora uma medida de risco para o ativo $i$.

Interpretando o $\beta$

De modo geral, o $\beta$ mede a sensibilidade do retorno do ativo $i$ a variações dos retornos da carteira de mercado. Isto é, o beta de um ativo é a variação percentual esperada no retorno do ativo, dado a variação de $1\%$ no retorno da carteira de mercado.

Para uma compreensão mais profunda sobre o papel do $\beta$ é necessário relacioná-lo com os conceitos de risco sistêmico e risco idiossincrático. O risco de um ativo é dividido em duas partes: o idiossincrático, que é o risco associado a fatores que afetam apenas o ativo em questão; e o rico de sistêmico, que se devem a fatores que afetam todos ativos do mercado. Maiores detalhes podem ser encontrados nesse post.

Os investidores podem se livrar do risco idiossincrático através da diversificação, mas não podem se livrar do risco de mercado. Por essa razão, o risco idiossincrático e o risco sistêmico são conhecidos também como risco diversificável e risco não diversificável.

A frase que diz: “Quanto maior o risco, maior o retorno esperado” não está totalmente correta, uma vez que apenas o risco não diversificável é renumerado. Pois, caso o risco diversificável fosse renumerado, os agentes poderiam realizar arbitragem ao receberem a renumeração por esse tipo de risco e livrarem-se dele através da diversificação. Dessa forma, a frase mais correta seria: “Quanto maior o risco não diversificável, maior o retorno esperado”.

A razão para falar disso se deve à definição de carteira de mercado. Como discutido nesse post, a carteira de mercado é uma carteira pertencente a fronteira eficiente, sendo a mais diversificável possível. Portanto, ela contém apenas risco não diversificável.

Considerando isso, o $\beta$ de um ativo pode ser interpretado como a sensibilidade do retorno do ativo ao risco de mercado. Portanto, quanto maior o $\beta$ maior a renumeração esperada para o ativo.

Formalmente, o $\beta$ é dado por:

\[\beta_i = \frac{Cov(R_i, R_m)}{Var(R_m)}\]

Colocando o $\beta$ em termos de variâncias e correlações:

\[\beta_i = \frac{\sigma_i \sigma_m \rho_{im}}{\sigma_m^2}\]

Portanto,

\[\beta_i = \frac{\sigma_i \rho_{im}}{\sigma_m}\]

Tal que, $\sigma_i$ é a variância dos retornos do ativo $i$, $\sigma_m$ é a variância dos retornos da carteira de mercado e $\rho_{im}$ é a correlação entre os retornos do ativo $i$ e os retornos da carteira de mercado.

Na relação acima, o numerador $\sigma_i \rho_{im}$ é parte do risco do ativo que é comum com o risco de mercado e o denominador $\sigma_m$ é o risco de mercado. Assim, o $\beta_i$ é o risco sistemático do ativo $i$ ponderando pelo risco sistemático de todo o mercado $\sigma_m$. Desta forma, se $\beta_i > 1$, então o ativo $i$ possui mais risco de mercado que a carteira de mercado e, portanto, deve ter maior renumeração do que ela e vice-versa.

Além disso, o retorno do ativo tem relação linear com $\beta$. Podemos representar o retorno esperado como uma função linear do $\beta$:

A reta acima é conhecida como Security Marketing Line (SML), ela mostra a relação entre $\beta$ e o retorno esperado. Para $\beta = 1$, o ativo correspondente tem mesmo risco de mercado que a carteira de mercado, portanto possui a mesma renumeração $R_m$. Além disso, a inclinação da reta é dada por $(R_m - R_f)$, que é a renumeração excedente em relação à taxa livre de risco $R_f$.

Pressupostos do CAPM

O CAPM possui um conjunto fundamentos sobre a hipótese de mercados eficientes. Dentre eles, espera-se que os investidores sejam racionais e que estão dispostos a aceitar um prêmio pelo risco como medida de compensação. Além disso, são avessos ao risco, ou seja, desejam minimizar o risco, tudo mais constante.

Para que o mercado de capitais seja eficiente, espera-se que seja competitivo, exista um grande número de investidores que não têm poder para influenciar individualmente o mercado. E os preços reflitam todas as informações disponíveis e que os investidores tenham pleno acesso a essas informações. Ademais, presume-se que não há impostos sobre as transações, e se houver, que não gerem distorções.

O modelo também supõe que o retorno esperado do ativo e do mercado sejam previsíveis, ou calculáveis. Note que, na prática, é praticamente impossível atender todas essas premissas. Entretanto o modelo é uma ferramenta extensivamente utilizada e apresenta um referencial teórico de grande importância na avaliação de risco e retorno.

Usos do modelo CAPM

O modelo CAPM possui várias aplicações, entretanto, ele é frequentemente usando em duas situações: precificar e comparar ativos e estimar o custo de capital próprio.

No primeiro caso, o modelo CAPM fornece uma taxa de retorno esperada para o ativo. Suponha que um investidor deseja escolher um conjunto de ações para investir, um critério de escolha é usar o retorno esperado das ações. O CAPM fornece um meio de estimar esses retornos, além disso, fornece uma medida de risco de mercado para ação.

Uma medida de risco frequentemente utilizado para comparar a performance entre ativos é o índice de Sharpe. Ele mede a taxa de retorno por unidade de risco, assim dado uma carteira P, o índice de sharpe é calculado como:

\[I_s(P) = \frac{R_m - R_p}{\sigma_p}\]

Assim, quanto maior o $I_s$, melhor o desempenho da carteira ponderado pelo o seu próprio risco. Entretanto, essa medida não é mais acurada, uma vez que ela considera risco não renumerável. Dessa forma, o $\beta$ acaba sendo uma medida melhor.

No segundo caso, o CAPM é utilizado para estimar o custo de capital próprio de uma empresa.

O custo de capital próprio de uma empresa pode ser definido como a taxa de retorno que os acionistas esperam ganhar em troca por investir os seus recursos na empresa. O custo de capital $(K)$ própria é estimado como:

\[K = R_f + \beta(R_m - R_f)\]

Sendo facilmente estimado quando a empresa possui ações listadas no mercado.

Além disso, a taxa $K$ fornece uma forma de avaliar a viabilidade de projetos com capital próprio na empresa. O valor presente líquido (VPL) é uma técnica largamente empregado para avaliar a viabilidade de projetos, o critério de avaliação é se $VPL > 0$ o projeto é viável. Essa técnica consiste em descontar o valor dos fluxos de caixa futuros por uma taxa apropriada, que reflete a risco do projeto e a taxa $K$ é justamente isso. De forma mais abrangente, o VPL pode ser usado para estimar valor total da empresa.

Um empecilho para a aplicação do CAPM é a necessidade de uma carteira de mercado, que relativamente difícil de ser calculada. Na prática, os investidores usam uma proxy para essa carteira. Na Bovespa, o índice Ibovespa é bastante utilizado como proxy.

Aplicando modelo CAPM na Bovespa

O primeiro passo logo após importar as bibliotecas foi incluir os dados. As empresas escolhidas para essa demonstração didática foram:

CMIG3 – Cemig (energia elétrica)
ELET3 – Eletrobrás (energia elétrica)
ITUB4 – Itaú Unibanco (setor bancário)
LREN3 – Lojas Renner (Varejista de roupas)

Como carteira de mercado, será considerado o índice Bovespa (BVSP).

#Importar as bibliotecas que serão utilizadas
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

#Criar os Dataframes dos ativos analisados
#Data frames de 01-07-2019 a 30-07-2020
#Criar os Dataframes dos ativos analisados
'Data frames de 01-07-2019 a 30-07-2020'
dir_data = "../data/"
BVSP_df = pd.read_csv(dir_data+'BVSP.csv')
CMIG_df = pd.read_csv(dir_data+'CMIG3.SA.csv')
ELET_df = pd.read_csv(dir_data+'ELET3.SA.csv')
ITUB_df = pd.read_csv(dir_data+'ITUB4.SA.csv')
LREN_df = pd.read_csv(dir_data+'LREN3.SA.csv')

#Grafico com evolução do preço BVSP
Dias=list(range(0,len(BVSP_df)))
Preco=plt.plot(Dias,BVSP_df['Adj Close'])
plt.title("Preço BVSP X Tempo (dias)")

Os dados foram importados do Yahoo! Finanças, do período de 01/07/2019 a 30/07/2020. Como o arquivo não incluí o retorno em porcentagem, a seguir foi adicionada uma coluna de retornos, a qual utilizou como base a coluna “Adj Close” que é fornecida pelo arquivo do Yahoo. “Adj Close” é o preço de fechamento somado aos dividendos que podem ter sido distribuídos no dia por ação, incluindo então esta outra forma de rendimento.

#Adicionar uma coluna de retornos que é (new_Adj close / old_ Adj close) -1
BVSP_df ['Returns'] = BVSP_df['Adj Close'].pct_change()
CMIG_df ['Returns'] = CMIG_df['Adj Close'].pct_change()
ELET_df ['Returns'] = ELET_df['Adj Close'].pct_change()
ITUB_df ['Returns'] = ITUB_df['Adj Close'].pct_change()
LREN_df ['Returns'] = LREN_df['Adj Close'].pct_change()

A fórmula do retorno foi:

\[\frac{Adj\ close_t}{Adj\ close_{t-1}} – 1\]

Como o cálculo possui o preço do dia anterior no divisor, a data mais antiga não terá um valor definido, e por isso será ignorada essa linha.

#Ignorar os NaN
BVSP_returns = BVSP_df['Returns'].values[1:]
CMIG_returns = CMIG_df['Returns'].values[1:]
ELET_returns = ELET_df['Returns'].values[1:]
ITUB_returns = ITUB_df['Returns'].values[1:]
LREN_returns = LREN_df['Returns'].values[1:]

Para continuar, serão considerados apenas os retornos percentuais calculados anteriormente.

É possível visualizar no seguinte exemplo como ocorre a regressão linear entre os retornos do ativo e retornos do Bovespa:

Retornos = [BVSP_returns, CMIG_returns, ELET_returns, ITUB_returns, LREN_returns]
#Usando SeaBorn para visualizar a regressão linear (Grafico de pontos)
regressao_linear=plt.figure(figsize=(16,6))
ax = sns.regplot(BVSP_returns, CMIG_returns, scatter_kws={"color":"blue"},
                 line_kws={"color":"orange"})
ax.tick_params(axis = 'x', color = 'black')
ax.set(xlabel="BVSP Retornos", ylabel = "CMIG Retornos", title = 'Retornos BVSP X CMIG',
       )
plt.show()

A seguir, o cálculo da matriz de variância e covariância, que será utilizada para calcular o Beta de cada ativo. Para este exemplo, foi considerado o valor de 0.0054% de retorno diária, tendo a taxa Selic como renda fixa.

#CAPM: ERi  = RFR + Bi * (ERm - RFR)

"""Lembrar que:
    Bi = 0, o ativo não se relaciona com o mercado
    Bi = 1, ativo perfeitamente correlacionado com o mercado
    Bi > 1, ativo mais volátil que o mercado
    Bi <1, ativo menos volátil que o mercado  """

#Matriz de variancia e covariancia
vcov=np.cov(Retornos)

#Cálculo dos betas
Tamanho=5
variancias=np.zeros(Tamanho)
for n in range(0,Tamanho): #Captura as variancias pra calcular
    variancias[n]=vcov[n][n]
beta=np.zeros(Tamanho)
for n in range(0,Tamanho): #seleciona todos da primeira coluna de vcov
      beta[n]=vcov[n][0]/variancias[n]

rm = np.mean(BVSP_returns)

rf = 0.000054  #taxa selic atual
ri = np.zeros(Tamanho)
for n in range(0,Tamanho):
    ri[n] = (rf + beta[n] * (rm - rf))*100

Os resultados de retorno esperado são pequenos, porém é preciso lembrar que foi calculado para o período diário.Dado o nível de risco e considerando as relações dos ativos com o mercado, os resultados foram:

# Cria um DataFrame com os retornos
df = pd.DataFrame(data=ri,columns=[ 'Retorno Esperado'])
dfnomes= pd.DataFrame(data=Nomes,columns=['Papel'])
df2= dfnomes.join(df,how='right')

#Gera um grafico de retornos esperados
retorno_esperado_graf=plt.figure()
retorno_esperado_graf=plt.bar(df2['Papel'],df2['Retorno Esperado'])
plt.title("Retorno esperado de cada papel")

print(df2)

  Papel  Retorno Esperado
BVSP          0.049422
CMIG          0.031297
ELET          0.025346
ITUB          0.040241
LREN          0.031604

Referências

BERK, Jonathan B.;DEMARZO, Peter. Corporate finance. 3rd ed. Peason, 2014. JORDAN, Ross W. Fundamentos de Administração Financeira. 9ª ed. AMGH, 2013.